九章算术读后感

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　　《九章算术》是中国古代数学专著，是《算经十书》（汉唐之间出现的十部古 算书）中最重要的一种。魏晋时刘徽为《九章算术》作注时说：“周公制礼而有九数，九数之流则《九章》是矣”，又说“汉北平侯张苍、大司农中丞耿寿昌皆以善算命世。苍等因旧文之遗残，各称删补，故校其目则与古或异，而所论多近语也”。
　　《九章算术》的内容十分丰富，全书采用问题集的形式，收有246个与生产、生活实践有联系的应用问题，其中每道题有问（题目）、答（答案）、术（解题的步骤，但没有证明），有的是一题一术，有的是多题一术或一题多术。这些问题依照性质和解法分别隶属于方田、粟米、衰（音cui）分、少广、商功、均输、盈不足、方程及勾股九章如下所示。原作有插图，今传本已只剩下正文了。
　　《九章算术》共收有246个数学问题，分为九章、它们的主要内容分别是：
　　第一章“方田”：田亩面积计算;提出了各种多边形、圆、弓形等的面积公式;分数的通分、约分和加减乘除四则运算的完整法则。后者比欧洲早1400多年。
　　第二章“粟米”：谷物粮食的按比例折换;提出比例算法，称为今有术;衰分章提出比例分配法则，称为衰分术;
　　第三章“衰分”：比例分配问题;介绍了开平方、开立方的方法，其程序与现今程序基本一致。这是世界上最早的多位数和分数开方法则。它zuowen.zk168.com.cn奠定了中国在高次方程数值解法方面长期领先世界的基础。
　　第四章“少广”：已知面积、体积，反求其一边长和径长等;
　　第五章“商功”：土石工程、体积计算;除给出了各种立体体积公式外，还有工程分配方法;
　　第六章“均输”：合理摊派赋税;用衰分术解决赋役的合理负担问题。今有术、衰分术及其应用方法，构成了包括今天正、反比例、比例分配、复比例、连锁比例在内的整套比例理论。西方直到15世纪末以后才形成类似的全套方法。
　　第七章“盈不足”：即双设法问题;提出了盈不足、盈适足和不足适足、两盈和两不足三种类型的盈亏问题，以及若干可以通过两次假设化为盈不足问题的一般问题的解法。这也是处于世界领先地位的成果，传到西方后，影响极大。
　　第八章“方程”：一次方程组问题;采用分离系数的方法表示线性方程组，相当于现在的矩阵;解线性方程组时使用的直除法，与矩阵的初等变换一致。这是世界上最早的完整的线性方程组的解法。在西方，直到17世纪才由莱布尼兹提出完整的线性方程的解法法则。这一章还引进和使用了负数，并提出了正负术——正负数的加减法则，与现今代数中法则完全相同;解线性方程组时实际还施行了正负数的乘除法。这是世界数学史上一项重大的成就，第一次突破了正数的范围，扩展了数系。外国则到7世纪印度的婆罗摩及多才认识负数。
　　第九章“勾股”：利用勾股定理求解的各种问题。其中的绝大多数内容是与当时的社会生活密切相关的。提出了勾股数问题的通解公式：若a、b、c分别是勾股形的勾、股、弦，则，m》n。在西方，毕达哥拉斯、欧几里得等仅得到了这个公式的几种特殊情况，直到3世纪的丢番图才取得相近的结果，这已比《九章算术》晚约3个世纪了。勾股章还有些内容，在西方却还是近代的事。例如勾股章最后一题给出的一组公式，在国外到19世纪末才由美国的数论学家迪克森得出。
　　《九章算术》确定了中国古代数学的框架，以计算为中心的特点，密切联系实际，以解决人们生产、生活中的数学问题为目的的风格。其影响之深，以致以后中国数学着作大体采取两种形式：或为之作注，或仿其体例着书;甚至西算传入中国之后，人们着书立说时还常常把包括西算在内的数学知识纳入九章的框架。 然而，《九章算术》亦有其不容忽视的缺点：没有任何数学概念的定义，也没zuowen.zk168.com.cn有给出任何推导和证明。魏景元四年（263年），刘徽给《九章算术》作注，才大大弥补了这个缺陷。
　　《九章算术》是世界上最早系统叙述了分数运算的著作;其中盈不足的算法更是一项令人惊奇的创造;“方程”章还在世界数学史上首次阐述了负数及其加减运算法则。在代数方面，《九章算术》在世界数学史上最早提出负数概念及正负数加减法法则;现在中学讲授的线性方程组的解法和《九章算术》介绍的方法大体相同。注重实际应用是《九章算术》的一个显著特点。该书的一些知识还传播至印度和阿拉伯，甚至经过这些地区远至欧洲。
　　《九章算术》是几代人共同劳动的结晶，它的出现标志着中国古代数学体系的形成。后世的数学家，大都是从《九章算术》开始学习和研究数学知识的。唐宋两代都由国家明令规定为教科书。1084年由当时的北宋朝廷进行刊刻，这是世界上最早的印刷本数学书。
　　所以，《九章算术》是中国为数学发展做出的一杰出贡献。

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　　《九章算术》：数学江湖中的“独孤九剑”
　　若问金庸江湖中哪套剑法最厉害，十有八九都会想到“独孤九剑”。那位俨如神话的剑魔独孤求败，终其一生欲求一败而不得，大抵是所有剑客们心向往之的至高境界。其实在数学江湖中也有一套“独孤九剑”，那便是被誉为“中国数学圣经”的《九章算术》。
　　刘徽（225～295），山东邹平县人，魏晋时伟大数学家，中国古典数学理论的奠基人之一，著有《九章算术注》和《海岛算经》。
　　《九章算术》作者不详，师承不明，无门无派，身世神秘，仿佛天外飞仙般突然降临江湖，一出现便惊艳了众生，引得历代名家尽折腰，甘愿殚精竭虑，纷纷为之作注，九章之学，遂成大宗。
　　如此经典，非圣贤不能为。魏晋数坛盟主刘徽归戴周公，“周公制礼而有九数，九数之流则《九章》是矣”，又云西汉张苍、耿寿昌曾“因旧文之遗残，各称删补”。若斯言足征，则《九章算术》之渊源，实可远溯千年，至迟于西汉初期已见成书，其后递经修订，于东汉初期已传定本。
　　正如“独孤九剑”有九式一样，《九章算术》当然也有九章，每章研习一术，分别是方田术、粟米术、衰分术、少广术、商功术、均输术、盈不足术、方程术、勾股术，合称“九术”，即九种算法，不过听起来怎么都像是武功秘诀或兵战奇略。
　　刘徽《九章算术注》
　　中国人重务实而轻务虚，《九章算术》亦不屑于纯粹的数理推演，凡所研习，莫不与社会生活息息相关。对此，刘徽曾有精辟的论述：方田者，“以御田畴界域”；粟米者，“以御交质变易”；衰分者，“以御贵贱禀税”；少广者，“以御积幂方圆”；商功者，“以御功程积实”；均输者，“以御远近劳费”；盈不足者，“以御隐杂互见”；方程者，“以御错糅正负”；勾股者，“以御高深广远”。
　　可见，《九章算术》所要解决的是诸如田亩丈量、粮食折换、商品交易、物资分配、土木工程、水利建设、赋税缴纳、徭役摊派、盈亏平衡等方方面面的问题，是基于现实的需要，而非偶发的兴趣，故而所要探究的也是如何计算面积、体积、容积，如何进行分数运算、比例运算、等差运算、正负数运算，如何开平方、开立方，如何求解多元线性方程组，如何运用勾股定理测高望远等实用实效的数学方法。
　　剑有剑招，算有算题，“独孤九剑”须得从一招一招练起，《九章算术》也得从一题一题做起。整部《九章算术》说到底就是一本算题集，共列举了二百四十六道算题，每题皆有问有答有解。这又好比二人对剑，一人出招，一人接招，至于如何见招拆招，则全赖“九术”之妙用。
　　看来欲有所进境，是非动手不可了。不妨就从每章各抽一题，以期略尽管窥之责。
　　以粟换米
　　今有粟一斗，欲为粝米，问得几何？（粟米章）
　　国以农为本，民以食为天，粮食在古代不但是赋税的大宗，交易时更堪比金银等硬通货，因此粮食的兑换和折算问题，一直是朝廷和官府的头等大事。〈粟米章〉开篇就明示“粟米之法”，列出了二十种谷物及米饭的换算比率，相当于一份汉代的粮食换算表，即以本题而言，粟率五十，粝米率三十。
　　粟是中国北方主要的粮食作物，俗称“谷子”，去壳后俗称“小米”，粝米就是糙米。本题的意思是，根据“粟米之法”所列的比率，问一斗谷子能换多少糙米？
　　那么，具体该如何换算呢？这就要借助“今有术”。所谓“今有术”，其实就是四项比例算法，因每问开头常冠以“今有”二字，故得此诨号。其修炼口诀曰：“以所有数乘所求率为实，以所有率为法，实如法而一。”以公式表示即是：
　　所求数＝所有数×所求率／所有率
　　本题是以粟来兑换粝米，粟数为所有数，粝米数为所求数，粟率为所有率，粝米率为所求率。依今有术之法：
　　粝米数＝粟数×粝米率／粟率＝1斗×30／50＝0.6斗
　　汉制十升为一斗，故答曰：“为粝米六升。”
　　五爵分鹿
　　今有大夫、不更、簪袅、上造、公士，凡五人，共猎得五鹿。欲以爵次分之，问各得几何？（衰分章）
　　古代以爵级为赐，大夫、不更、簪袅、上造、公士都是战国之初已有的官爵名称，爵数各有等差，依次为大夫五，不更四，簪袅三，上造二，公士一。本题要求将猎得的五只鹿，按爵级予以赏赐，分配比例即为爵数，问五爵各得多少？
　　今有术解决的虽是按比例交换问题，但同样可以适用于此处的按比例分配问题，由此便形成了衰分术。衰（cuī）即差别之意，衰分即按差别来分配。本题所给出的算法是：“列置爵数，各自为衰，副并为法。以五鹿乘未并者各自为实，实如法得一鹿。”
　　所谓“列置爵数，各自为衰，副并为法”，就是把分配比例依次列出，以各率相加之和作为除数：
　　5：4：3：2：1
　　5＋4＋3＋2＋1＝15
　　所谓“五鹿乘未并者各自为实，实如法得一鹿”，就是用五鹿之数乘以五爵各自在分配总率中所占的比例，即可求得各自应得鹿数：
　　大夫应得鹿数＝5鹿×5／15＝1又2／3鹿
　　不更应得鹿数＝5鹿×4／15＝1又1／3鹿
　　簪袅应得鹿数＝5鹿×3／15＝1鹿
　　上造应得鹿数＝5鹿×2／15＝2／3鹿
　　公士应得鹿数＝5鹿×1／15＝1／3鹿
　　故答曰：“大夫得一鹿三分鹿之二，不更得一鹿三分鹿之一，簪袅得一鹿，上造得三分鹿之二，公士得三分鹿之一。”
　　本题中还涉及到了分数运算法则，这在〈方田章〉中有更为详尽的论述，包括约分（分数化简法）、合分（分数加法）、减分（分数减法）、乘分（分数乘法）、经分（分数除法）、课分（分数比较大小）、平分（分数求平均值）及大广田（带分数乘法）——千万别被它们古奥的名字唬住，其实都不过是最基本的分数加减乘除四则运算罢了，当代的初中生人人皆会。
　　四县均输
　　今有均输粟，甲县一万户，行道八日；乙县九千五百户，行道十日；丙县一万二千三百五十户，行道十三日；丁县一万二千二百户，行道二十日，各到输所。凡四县赋，当输二十五万斛，用车一万乘。欲以道里远近、户数多少，衰出之，问粟、车各几何？（均输章）
　　所谓“均输”，就是平均分配运输负担。本题中县户有多少之差，行道有远近之异，欲其均等，故各令行道日数约户为衰分，行道多者少其户，行道少者多其户。
　　甲县衰分＝10000户／8日＝125
　　乙县衰分＝9500户／10日＝95
　　丙县衰分＝12350户／13日＝95
　　丁县衰分＝12200户／20日＝61
　　已知衰分，就可以运用前已熟悉的衰分术，很容易地计算出各县当输的粟数和当用的车数了，答曰：“甲县粟八万三千一百斛，车三千三百二十四乘。乙县粟六万三千一百七十五斛，车二千五百二十七乘。丙县粟六万三千一百七十五斛，车二千五百二十七乘。丁县粟四万五百五十斛，车一千六百二十二乘。”
　　这只是均输术最正经的应用，事实上，它还可以解决一些不大重要却很有趣的小问题，例如数学史上著名的“凫雁相逢”问题：
　　今有凫起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海。今凫雁俱起，问何日相逢？（均输章）
　　凫即野鸭，雁即大雁，野鸭从南海飞到北海需要七天，大雁从北海飞到南海需要九天。野鸭和大雁同时分别从南海和北海出发，问多少天可以相遇？
　　本题虽然简单，却包含了均输术中的时日、路程、速度等几乎所有的元素，是典型性非典型题，反映了中国古代在处理与比例分配相关的分数运算时的基本思维——“齐同”，化异分母为同分母叫“同其母”，要保持分数值不变，还必须“齐其子”，母同子齐以后才可以进行加减运算。所以，“凫雁相逢”的解法是：“并日数为法，日数相乘为实，实如法得一日。”也就是说，以各自需要的天数之和为除数，以各自需要的天数之积为被除数，这样就得到日数。答曰：“三日十六分日之十五。”
　　（本文转载自“国学时代”）